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2012.6.13	제어공학

제어공학 학기말

설계 Project

- 목  차 -

1. 설계 목적

2. 설계 사양

3. 모델링 결과

Ⅰ. Pspice를 이용한 모델링

Ⅱ. MATLAB을 이용한 모델링

4. 설계 과정

5. 시뮬레이션 결과

Ⅰ. Pspice를 이용한 시뮬레이션 결과

① %OS확인 시뮬레이션

② Settling Time 값 확인

Ⅱ. MATLAB을 이용한 시뮬레이션 결과값 확인

① %OS확인 시뮬레이션

② Settling Time 값 확인

6. 결과고찰 및 분석

7. 참고문헌

1. 설계 목적

내가 원하는 사양으로 RLC 회로 시스템을 설계하여 R, L, C 값을 설정하고 회로에서 과도응답특성과 Percent Overshoot, Settling Time을 측정하고 나타내 보자.

2. 설계 사양

입력 V(t)	: 1v 단위계단 입력

출력	: Capacitor에 걸리는 전압 Vc(t)

과도응답특성        : Underdamped transient response

Percent Overshoot : 4.6%

Settling Time	: 1 sec

peak Time         : 0.769 sec

3. 모델링 결과

이번 제어설계과제에서 MATLAB과 Pspice를 이용하여 결과를 확인하였다.

Ⅰ. Pspice를 이용한 모델링

Ⅱ. MATLAB을 이용한 모델링

4. 설계 과정

콘덴서 양단의 전압을 구하는 것이므로 입력전압과 콘덴서 양단의 전압사이의 전달함수를 구하도록 한다. 입력전압이 단위 계단 함수이므로 초기조건=0으로 하고 루프 내에서 KVL에 의해

[eqn: L {di(t)} over {dt} +Ri(t)+ {1} over {C} int _{0} ^{t} {i( tau )d tau } =v(t)]	.............................. 식 (1)

[eqn: i(t) = {dq} over {dt}]를 식 (1)에 대입하면

[eqn: L {d ^{2} q(t)} over {dt ^{2}} +R {dq(t)} over {dt} + {1} over {C} q(t)=v(t)]	.............................. 식 (2)

[eqn: q(t)`=`Cv _{c}(t)]를 식 (2)에 대입하면

[eqn: L C{d ^{2} v_C (t)} over {dt ^{2}} +RC {dv_C (t)} over {dt} + v_C (t)=v(t)]	.............................. 식 (3)

(( 초기조건 =0 , [eqn: laplace].[eqn: T.]) ➜ [eqn: (LCs^2 + RCs + 1)V_C (s) = V(s)]

∴ [eqn: G(s) = {V_C (s)}over{V(s)][eqn: ={{1}over{LC}}over{s^2 + {R}over{L}s + {1}over{LC}}]

일반적인 2차 시스템의 전달함수는 [eqn: G(s) = {w_n ^2}over{s^2 + 2ςw_n s +w_n ^2]이므로

RLC 회로망에서의 전달함수와 계수비교를 통해 <ς, [eqn: w_n]> 과 <R, L, C> 사이의 관계를 알 수 있다. 계수를 쉽게 비교할 수 있도록 <표 1>에 나타내었다.

<표 1> RLC 회로망과 과도응답 특성 요소의 전달함수 및 근

RLC 회로망	과도응답 특성 요소
[eqn: G(s) = {{1}over{LC}}over{s^2 + {R}over{L}s + {1}over{LC}}]	[eqn: G(s) = {w_n ^2}over{s^2 + 2ςw_n s +w_n ^2]
[eqn: s_1 , s_2 ``= `{{-{R}over{L} +-root{{({R}over{L}})^2 -4({1}over{LC})^2}}over{2}]	[eqn: s_1 , s_2 ``= ``-ςw_n +-root{w_n ^2 ς^2 -w_n ^2}]

➜ 2ς[eqn: w_n] = [eqn: R}over{L]	.............................. 식 (4)

➜ [eqn: w_n ^2] = [eqn: {1}over{LC]	.............................. 식 (5)

의 관계를 유도할 수 있다.

설계사양은 내가 정하는 것 이므로 [eqn: T_s] = 1[sec]로 가정하고  Underdamped 회로를 구성하기위해  0<ς<1 범위에서 ς를 잡아야하므로 0.7로 잡아주면, [eqn: T_s] = [eqn: {4}over{ςw_n}]의 식으로부터 [eqn: w_n]값을 구할 수 있다.

[eqn: T_s] = [eqn: {4}over{ςw_n}] = [eqn: {4} over {0.7 TIMES w _{n}}] =1  ➜  ∴ [eqn: w_n] = 5.714

%OS는 ς만의 함수이고 %OS를 구하는 식

%OS = [eqn: e ^{-( {ς pi } over {sqrt {1-ς ^{2}}} )} TIMES 100(%)] ➜ %OS = 4.6%

위의 식으로부터 구한 값을 식 (4), (5)에 대입하여 R, L, C값을 구할 수 있다.

하지만 이때 어느 한 값을 지정해 줘야 하므로

L=200으로 지정해 놓고 R, C를 구하면

L=200    R=1600     C=153.125u

내가 원하는 모든 값들을 구했다.

5. 시뮬레이션 결과

Ⅰ. Pspice를 이용한 시뮬레이션 결과

① %OS확인 시뮬레이션

Tp 값을 구해보니 0.769가 나왔다. Pspice를 이용하여 출력된 그래프에서 0.769초 일때 나오는 값을 확인해보니 1.0465 값이 나왔고 위에서 구한 %OS값과 일치했다.

② Settling Time 값 확인

Settling Time을 1sec로 잡았기 때문에 1sec일때 1.02값이 나와야 한다.

Pspice에서 확인해보니 1.0255가 나왔는데 오차율이 0.54%나 나왔는데 무시해도 될 만큼 작은 범위이다.

Ⅱ. MATLAB을 이용한 시뮬레이션 결과값 확인

① %OS확인 시뮬레이션

Tp 값은 0.769인데 정확학 값을 찍을수가 없어서 근처값인 0.774를 확인해 보니 1.05값이 나왔는데  아까 구한 1.0465 값과 차이가 난다. 아마 소수 3째 자리에서 반올림을 하여 1.05가 나온거 같다.

따라서 MATLAB으로 확인한 값도 Pspice와 계산으로 구한값과 일치했다.

② Settling Time 값 확인

Settling Time을 1sec로 잡았기 때문에 1sec일때 1.02값이 나와야 한다. MATLAB으로 돌려봐서 Time을 1sec를 찍으려 했으나 0.97sec와 1.01sec가 찍혀 가까운 값인 1.01을 확인해 보니 계산값인 1.02와 일치했다. MATLAB값과 계산값, Pspice값 모두 일치했다.

6. 결과 고찰 및 분석

강의 시간에 배운 내용을 직접 설계하는 것에 대해 많은 어려움이 있었다. 정해진 회로를 분석하는 것과 원하는 회로를 구성하는 것은 같은 원리이지만 정반대의 작업이라는 것을 절실하게 느꼈다.

문제를 풀 때는 주어진 식을 해석만하면  undampted, overdampted, underdampted, criticallydamted를 구할 수 있었지만 설계를 직접 하려고 하니 어떤 파형을 얻을것인가부터 시작하여 [eqn: w_n]값도 설정해야하고 그 결과에따라 R, L, C 값도 설정해줘야 하므로 복잡했다.

내가 잡아준 값들을 대입하여보니 [eqn: G(s)= {( {40} over {7} ) ^{2}} over {s ^{2} +8s+( {40} over {7} ) ^{2}}]이란 식에서 s값들이 2사분면과 3사분면에 위치했고 이론에서 배운데로  Underdamped transient response가 정확히 나왔다.

또한 위의 시뮬레이션의 결과를 보면 Pspice을 통해 얻은 결과와 Matlab을 통해 얻은 결과가 거의 일치함을 알 수 있다. 소수점 이하의 작은 오차는 있으나, 소자 값 결정 또는 ς, [eqn: w_n]를 구하는 과정에서의 소수점에 의한 오차가 발생하므로 소수점 이하의 오차는 무시할 수 있다.

설계할 때 실수한 것들은 Pspice에서 전원을 이상한 소자를 사용하여 파형이 나오지 않았다. 이것은 프로그램 다루는 능력이 부족해서였기 때문에 인터넷에서 프로그램 사용법을 익혀 고칠 수 있었다.

또한 MATLAB에서도 숫자들을 어떻게 그래프로 표현해야 하는지 몰라서 MATLAB책을 참조하여 파형을 얻었다.

이번 설계에서는 매우 어려운 설계가 아니라 큰 실수는 많지 않았지만 프로그램사용이 미숙하여 시간이 많이 지체되었다. 수업시간에 교수님이 MATLAB 시범을 보였을 때 필기를 못했던 것이 후회가 되었다.

이번 설계를 통해 R, L, C소자들을 설정으로 과도응답특성이 어떻게 변하나 알 수 있었고, pspice와 MATLAB에대해 공부 할 수 있었다.

7. 참고문헌

Ⅰ.  박민기 교수님       수업 프린트

Ⅱ.  Norman S. Nise    「제어시스템공학 fifth edition」           홍릉과학출판사

Ⅲ.  Shoichio Nakamura 「MATLAB을 이용한 수치해석 및 그래픽」     아진도서출판